Strona główna

Dlaczego ciała poruszają się po okręgu?

Jak to się dzieje, że planety krążą wokół Słońca, a księżyce Jowisza – wokół niego? Co mają wspólnego ruch planet i ruch samochodu na zakręcie? Dzięki tej lekcji poznasz przyczynę zmiany kierunku prędkości i cechy ruchu po okręgu.

Znasz już zasady (prawa) dynamiki. Pierwsza z nich mówi, że aby zmienić stan ruchu ciała, czyli zwiększyć lub zmniejszyć jego prędkość albo zmienić jej kierunek lub zwrot, musimy działać pewną siłą. Aby zwiększyć prędkość ruchu ciała, trzeba działać siłą o takim samym kierunku i zwrocie, jakie ma prędkość, natomiast aby zmniejszyć wartość prędkości – siła powinna mieć zwrot przeciwny do zwrotu prędkości ciała.
Co powoduje, że ciało poruszające się dotychczas po prostej zaczyna zakręcać i poruszać się po okręgu? Domyślasz się pewnie, że musi działać jakaś siła. Jakie powinna mieć ona kierunek, zwrot i wartość?
Rozpatrujemy ruch jednostajny po okręgu, a zatem wartość prędkości musi być stała. Ma następować jedynie zmiana kierunku prędkości. Oznacza to, że siła, o której myślimy, musi być prostopadła do wektora prędkości ciała i zwrócona do środka okręgu. Taką siłę będziemy nazywać zatem siłą dośrodkową. Od czego może zależeć jej wartość?
Pomińmy kwestie matematyczne związane z wyprowadzeniem wzoru. Zauważymy tylko, że im większa będzie prędkość ciała poruszającego się po linii prostej, tym większą siłę trzeba będzie przyłożyć, aby zmienić kierunek jego ruchu. Logiczne będzie także stwierdzenie, że im większa masa ciała, które ma poruszać się po okręgu, tym większa siła musi na nie działać (II zasada dynamiki). Okrąg, po którym ma się poruszać ciało, będzie miał jakiś promień. Jeżeli działająca siła będzie niewielka, to niewielkie okaże się również odchylenie ciała od dotychczasowego toru – będzie się ono poruszało po okręgu o dużym promieniu. Aby uzyskać mały promień okręgu, musimy działać odpowiednio większą siłą dośrodkową.
Rozważania matematyczne prowadzą do następującej zależności siły dośrodkowej (FF) od masy (mm) i prędkości (vv) ciała oraz promienia okręgu (rr):
F=m·v2rF=m·v2r

Zapamiętaj

Siła dośrodkowa jest odpowiedzialna za to, że ciało porusza się po okręgu. Jej wartość obliczamy za pomocą wzoru:
F=m·v2rF=m·v2r

gdzie:
m[kg]m[kg] – masa poruszającego się ciała;
v[ms]vms – prędkość ciała;
r[m]r[m] – promień okręgu, który zakreśla poruszające się ciało.
A co jest źródłem tej siły?
Podczas rzutu młotem (tak naprawdę jest to kula, do której przymocowano stalową linkę zakończoną uchwytem) siłę dośrodkową za pośrednictwem linki wywiera zawodnik.
Zdjęcie przedstawiające zawodnika wykonującego rzut młotem podczas zawodów lekkoatletycznych.
ILUSTRACJA 2. SIŁA DOŚRODKOWAZdjęcie przedstawiające zawodnika wykonującego rzut młotem podczas zawodów lekkoatletycznych.
 
 
Źródłem siły dośrodkowej podczas rzutu młotem jest zawodnik
 
Zawodnik rozpędza młot, wykonując kilka obrotów, a następnie puszcza linkę. Na młot przestaje wówczas działać siła dośrodkowa – obserwujemy, jak daleko on poleci.
Wyobraźmy sobie szklankę stojącą na obracającej się płycie (np. gramofonowej) albo na szklanym talerzu w kuchence mikrofalowej. Jeżeli szklankę postawimy w pewnej odległości od osi obrotu, to naczynie będzie się poruszało po okręgu. Co powoduje, że szklanka porusza się takim ruchem? Czy poruszałaby się tak, gdyby powierzchnia talerza była idealnie gładka? Jaka siła mogłaby wówczas spowodować ruch szklanki? Jedyną siłą, o jakiej może być tu mowa, jest siła tarcia pomiędzy płytą (talerzem) a szklanką (pomijamy tu możliwość przyklejania szklanki do płyty).
Co się dzieje podczas pokonywania zakrętu przez samochód? Powiecie: po prostu kręcimy kierownicą i przednie koła ustawiają się w odpowiedniej pozycji. Czy na pewno? A gdyby na zakręcie był lód? Czy skręcenie kół wystarczyłoby do zmiany kierunku jazdy? Chyba wszyscy są przekonani, że nie. Podobnie jak w powyższym przykładzie, siłą dośrodkowa jest znowu siła tarcia.
O sile grawitacji, która jest siła dośrodkową, będziemy mówić na następnych lekcjach. A jakie jeszcze inne ruchy po okręgu możecie wskazać?

Polecenie 1.

Wybierzcie kilka rodzajów ruchu po okręgu, przeanalizujcie je i wskażcie, co jest siłą dośrodkową w każdym przykładzie.
Analiza różnych rodzajów ruchu po okręgu wskazuje, że siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało.

Przykład

Samochód o masie 2 t2 t porusza się ze stałą prędkością 72kmh72kmh. Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na samochód, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym łukiem okręgu o promieniu 25 m25 m.
Analiza zadania: 
W zadaniu podana jest informacja o masie ciała, jego prędkości i promieniu okręgu, po którym się ono porusza. Są to wystarczające dane, aby móc wyznaczyć wartość siły dośrodkowej. Należy jednak zwrócić uwagę, że prędkość została podana w km/h, a więc wymaga przeliczenia na m/s.
Dane: 
m=2 tm=2 t
1 t=1 000 kg1 t=1 000 kg
v=72kmhv=72kmh 
r=25 mr=25 m

Szukane: 
F= ?F= ? 

Wzór: 
F=mv2r F=mv2r  
Obliczenia: 
v=72kmh=72·1 000 m3 600 s=20msv=72kmh=72·1 000 m3 600 s=20ms 
F=2 000 kg·(20ms)225 m=80·400 N=32 000 N=32 kN F=2 000 kg·(20ms)225 m=80·400 N=32 000 N=32 kN  

Odpowiedź: 
Na samochód działa sila dośrodkowa 32 kN32 kN.

Przykład

Podczas zawodów lekkoatletycznych odbywa się konkurencja rzutu młotem. Do linki o długości 1,1 m1,1 m przymocowana jest kula o masie 4 kg4 kg. Zawodniczka wprawia kulę w ruch jednostajny po okręgu, tak że na kulę działa siła dośrodkowa o wartości 1,6 kN. 1,6 kN. Oblicz wartośc prędkości liniowej, z jaką porusza się kula. 
Analiza zadania: 
W zadaniu podana jest informacja o wartości siły dośrodkowej, którą obliczamy ze wzoru F=mv2rF=mv2r. Nie znamy wartości prędkości liniowej ciała, musimy więc ją obliczyć na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Dane: 
r=1,1 mr=1,1 m 
m=4 kgm=4 kg 
F=1,6 kN=1 600 NF=1,6 kN=1 600 N 
 
Szukane: 
v=?v=? 

Wzory: 
F=mv2r  /·r     F=mv2r  /·r      
F·r=mv2/:mF·r=mv2/:m 
v2=F·rmv2=F·rm 
v=F·rmv=F·rm 

Obliczenia:
v=1 600 N·1,1 m4 kg=440m2s221msv=1 600 N·1,1 m4 kg=440m2s2≅21ms 

Odpowiedź: 
Kula porusza się z prędkością o wartości równej w przybliżeniu 21ms21ms.

Przykład

Dziecko o masie 20 kg 20 kg siedzi na krzesełku karuzeli znajdującym się w odległości 5 m5 m od środka obrotu. Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na dziecko, gdy krzesełko porusza się z prędkością 3ms3ms
Analiza zadania: 
Korzystamy z zależności F=mv2r F=mv2r , aby wykorzystać informacje zawarte w zadaniu.

Dane: 
= 20 kgm = 20 kg 
=5 mr =5 m 
v=3msv=3ms 

Szukane: 
= ?F = ? 

Obliczenia: 
F=mv2r=20 kg·(3ms)25 m=36 NF=mv2r=20 kg·(3ms)25 m=36 N 

Odpowiedź: 
Na dziecko siedzące na krzesełku kręcącej się karuzeli działa siła dośrodkowa o wartości 36N36N.