Prawo powszechnego ciążenia

Opublikowano |

Super User

Od czasów starożytnych zadawano sobie pytanie, jak poruszają się planety. Zanim Kepler sformułował prawa opisujące ruch planet, uważano, że muszą się one poruszać po okręgach. Kepler i jego następcy udowodnili, że jest to ruch po elipsie. Jednak dopiero Robert Hooke, a następnie Isaac Newton zadali jeszcze ważniejsze pytanie: jakie zasady rządzą ruchem planet krążących wokół wspólnego centrum, którym jest Słońce?

Dlaczego planety krążą dookoła Słońca? Arystoteles i Kopernik uważali, że jest to ruch naturalny. Kepler i Kartezjusz sądzili, że musi to być spowodowane jakimś czynnikiem, ale ich teorie były bardzo dalekie od obecnego poglądu na tę sprawę. Pierwszym uczonym, który zwrócił uwagę, że planety muszą być przyciągane przez ciało centralne, był Robert Hooke. Pisał on, że:

Do przeczytania:

Wszystkie bez wyjątku ciała niebieskie są obdarzone właściwością ciążenia, czyli przyciągania do swych środków, i dzięki temu przyciągają nie tylko swe własne części, uniemożliwiając im odłączanie się (…), lecz także przyciągają wszystkie inne ciała niebieskie znajdujące się w sferze ich działania.

Pytanie było następujące: jak ta siła przyciągająca zależy od odległości między Słońcem a planetą? Pierwszym uczonym, który twierdził, że ta siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca, był przypuszczalnie Christiaan Huygens (Holender). Do takiego samego wniosku doszedł Edmond Halley (którego nazwiskiem nazwano później słynną kometę). Obaj uczeni nie mieli jednak wystarczającego aparatu matematycznego. Bez niego nie mogli oni uzasadnić takiego związku ani wykazać, że zależność siły od odległości jest przyczyną eliptycznego kształtu orbit planet. Taki aparat matematyczny zbudował Isaac Newton. Prawdopodobnie właśnie dlatego uważał on, że to jemu należą się wszystkie zasługi za sformułowanie prawa grawitacji.

Rozważania o przyczynie ruchu planet wokół Słońca nie prowadziły jednak do sformułowania prawa powszechnego ciążenia. Podobno dopiero obserwacja spadającego jabłka nasunęła Newtonowi nastepującą myśl: ten sam czynnik, który sprawia, że jabłko spada na ziemię, jest również przyczyną ruchu Księżyca wokół Ziemi. Oba zjawiska powoduje bowiem ta sama siła.
Newton stwierdził, że ciała obdarzone masą działają wzajemnie na siebie. Innymi słowy: we Wszechświecie wszystkie ciała się przyciągają. Tę siłę tę nazywamy siłą grawitacji.

siła grawitacji

– oddziaływanie ciała posiadającego masę na inne ciało obdarzone masą. Siła grawitacji jest siła przyciągającą.

Rozważania Newtona dotyczące siły powodującej krążenie planet dookoła Słońca doprowadziły do sformułowania następującego prawa:

Zapamiętaj

Dwie punktowe lub kuliste masy przyciągają się siłami wprost proporcjonalnymi do iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.

Siły grawitacji jakimi działają na siebie wzajemnie dwie masy punktowe

ILUSTRACJA 2. PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Siły grawitacji jakimi działają na siebie wzajemnie dwie masy punktowe

Siły grawitacji, jakimi wzajemnie działają na siebie dwa ciała o budowie kulistej

Zgodnie z III zasadą dynamiki siły przyciągania są wzajemne: jeżeli Słońce przyciąga Ziemię pewną siłą, to Ziemia przyciąga Słońce siłą o takiej samej wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie.

Oddziaływanie grawitacyjne Ziemi na Słońce i Słońca na Ziemię

ILUSTRACJA 3. PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA

Oddziaływanie grawitacyjne Ziemi na Słońce i Słońca na Ziemię

Zapamiętaj

Jeśli dwa ciała o masach

m_{1}

m_{2}

są oddalone od siebie o odległość

r

, to wartość siły grawitacji obliczamy ze wzoru:

F = G \frac{m_{1} {\cdot m}_{2}}{r^{2}}

gdzie

G

to stała grawitacji równa

6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}

Prawo powszechnego ciążenia jest spełnione nie tylko dla mas punktowych, lecz także dla ciał o różnych rozmiarach. Siła grawitacji jest wówczas suma sił występujących między punktami materialnymi, które tworzą dane ciało.

Polecenie 1.

Na Marsie odważnik o masie

1 kg

byłby przyciągany z siłą ok.

3,7 N

. 4 lipca 1997 r. na tej planecie wylądowała sonda kosmiczna Pathfinder o masie całkowitej równej ok.

275 kg

. Oblicz wartość siły przyciągania wzajemnego sondy i Marsa.

Siła grawitacji pełni funkcję siły dośrodkowej w ruchu planet wokół Słońca. Ziemia jest przyciągana przez Słońce, Księżyc oraz wszystkie planety Układu Słonecznego. Na podstawie III zasady dynamiki Newtona wiadomo, że wszystkie oddziaływania są wzajemne. Skoro Słońce przyciąga Ziemię siłą grawitacji, to także Ziemia przyciąga Słońce.

Przykład

Porównajmy siłę dośrodkową, jaka działa na każdy

1 kg

masy Księżyca, z siłą grawitacji działającą na

1 kg

masy dowolnego ciała na powierzchni Ziemi.
Ciężar ciała o masie

1 kg

na powierzchni Ziemi wynosi ok.

9,91 N

.
Siłę dośrodkową obliczamy ze wzoru:

F = \frac{m \cdot v^{2}}{R}

Obliczmy najpierw wartość prędkości, z jaką Księżyc porusza się po orbicie okołoziemskiej. W tym celu skorzystamy ze wzoru:

v = \frac{2 π R}{T}

, gdzie

R

jest średnią odległością od Księżyca do Ziemi wynoszącą

3,85 \cdot 10^{8} m

T

to czas pełnego obiegu Księżyca wokół Ziemi (miesiąc gwiazdowy), wynoszący

27,3217 doby

. Doba z kolei ma

86 400 sekund

(

24 godziny

3 600 s

).
Podstawiamy odpowiednie wartości. Z obliczeń wynika, że szukana prędkość wynosi ok.

1 020 m / s

(czyli ok.

1 km / s

).
Na ciało o masie

1 kg

krążące po takiej orbicie działa siła dośrodkowa:

F = \frac{m \cdot v^{2}}{R}

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy

F = 2,72 \cdot 10^{- 3} N

. Na ciało o masie

1 kg

znajdujące się na powierzchni Ziemi działa siła

9,81 N

. Jeśli podzielimy jedną wartość przez drugą, otrzymamy:

\frac{9,81 N}{2,72 \cdot 10^{- 3} N} = 3 600

Działająca siła jest

3 600

razy większa na powierzchni Ziemi niż na orbicie Księżyca. Ile razy większa jest odległość od Księżyca od środka Ziemi w porównaniu z odległością od ciała leżącego na powierzchni Ziemi do jej środka? Pierwsza odległość to ok.

3,85 \cdot 10^{8} m

, natomiast druga (średni promień Ziemi) to

6,37 \cdot 10^{6} m

Stosunek obu odległości to ok.

60 : 1

, stosunek sił wynosi zaś

1 : 3600

. Wniosek jest oczywisty – jeśli odległość jest

60

razy większa, to siła grawitacji jest

3 600

razy mniejsza.

Tak rozumował podobno sam Newton.

Przykład

Oblicz wartość siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi przez Słońce. Potrzebne dane odczytaj z tablic fizycznych.
Analiza zadania:
Wszystkie dane potrzebne do obliczenia zadania (masa Ziemi i Słońca, odległość między nimi, stała grawitacji) należy odczytać z tablic fizycznych lub znaleźć w internecie. Następnie trzeba skorzystać z zależności siły grawitacji od mas obu ciał i odległości między nimi.

Dane:

G = 6,67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}

M_{Z} = 5,98 \cdot 10^{24} kg

M_{S} = 1,99 \cdot 10^{30} kg

r = 1,5 \cdot 10^{11} m

Szukane:

F = ?

Wzór:

F = G \frac{m_{1} {\cdot m}_{2}}{r^{2}}

Obliczenia:

F = 6,67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} \cdot \frac{5,98 \cdot 10^{24} kg \cdot 1,99 \cdot 10^{30} kg}{{(1,5 \cdot 10^{11} m)}^{2}} = \frac{6,67 \cdot 5,98 \cdot 1,99}{{1,5}^{2}} \cdot 10^{21} N = 3,53 \cdot 10^{22} N

Odpowiedź:
Wartość siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi przez Słońce wynosi

3,53 \cdot 10^{22} N

. Jest ona równa wartości siły, jaką Ziemia przyciąga Słońce.

Działanie grawitacyjne każdego ciała (np. Ziemi) rozciąga się do nieskończoności. Oczywiście, większą wartość zawsze będzie miało przyciąganie ciał znajdujących się bliżej danego obiektu – np. księżyce Jowisza są silniej przyciągane przez Jowisza niż przez Ziemię.

Przykład

Oblicz wartość siły, jaką Ziemia przyciąga jabłko o masie 200 g.
Potrzebne dane odczytaj z tablic fizycznych.

Analiza zadania:
Masę i promień Ziemi musimy odczytać z tablic fizycznych lub znaleść w internecie. Masa jabłka jest podana w zadaniu, należy jednak wyrazić ją w kilogramach, aby ujednolicić jednostki. Dane podstawimy do wzoru na siłę grawitacji.

Dane:

G = 6,67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}}

M_{Z} = 5,98 \cdot 10^{24} kg

M_{j} = 200 g = 0,2 kg

r = 6400 km = 6,4 \cdot 10^{6} m

Szukane:

F = ?

Wzór:

F = G \frac{m_{1} {\cdot m}_{2}}{r^{2}}

Obliczenia:

F = 6,67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m^{2}}{{kg}^{2}} \cdot \frac{5,98 \cdot 10^{24} kg \cdot 0,2 kg}{{(6,4 \cdot 10^{6} m)}^{2}} = 6,67 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{1,196 \cdot 10^{24}}{40,96 \cdot 10^{12}} N = 1,95 N

Odpowiedź:
Ziemia przyciąga jabłko z siłą o wartości

1,95 N .

Jabłko przyciąga Ziemię z siłą o tej samej wartości, czyli

1,95 N

Category: bez kategorii

Grawitacja

Strona główna

Użytkownik

Teoria .